Bab 3 — Komponen Elektronika Pasif

3.1 Resistor

Resistor adalah komponen pasif dua terminal yang menghambat aliran arus listrik. Hambatan ini menghasilkan tegangan jatuh (voltage drop) yang memenuhi Hukum Ohm ($V = IR$), seperti yang telah dianalisis di Bab 2. Resistor tidak menguatkan sinyal — energi listrik yang "hilang" dikonversi menjadi panas (disipasi).

Gambar 3.1 — Simbol resistor dengan arus dan tegangan

Parameter Utama Resistor

Geser untuk melihat seluruh tabel

Parameter	Simbol	Satuan	Keterangan
Hambatan	$R$	Ω (Ohm)	Nilai hambatan nominal
Toleransi	—	% (persen)	Deviasi maks dari nilai nominal
Rating daya	$P_{max}$	W (Watt)	Daya maks yang dapat terdisipasi
Suhu kerja	—	°C	Rentang suhu operasi aman
Koefisien suhu	$TCR$	ppm/°C	Perubahan R per derajat Celsius

Tipe-tipe Resistor

Karbon film — murah, toleransi ±5%, paling umum di lab.
Metal film — lebih presisi, toleransi ±1%, noise rendah.
Wirewound — untuk daya tinggi (>5W), akurasi tinggi.
SMD (Surface Mount) — ukuran sangat kecil (0402, 0603, 0805), untuk PCB modern.

3.2 Daya dan Energi pada Resistor

Daya listrik yang terdisipasi oleh resistor (dikonversi menjadi panas) dapat dihitung dengan tiga bentuk ekuivalen, semuanya diturunkan dari $P = VI$ dan Hukum Ohm:

Gambar 3.2 — Disipasi daya pada resistor

Daya Listrik $$P = V \cdot I = I^2 R = \frac{V^2}{R}$$

Energi Listrik $$W = P \cdot t = V \cdot I \cdot t = I^2 R \cdot t$$

Satuan daya adalah Watt (W) dan satuan energi adalah Joule (J). Dalam praktik, energi sering dinyatakan dalam Watt-jam (Wh) atau kilowatt-jam (kWh) oleh perusahaan listrik, di mana $1 \text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \text{ J}$.

Praktis: Memilih Rating Daya

Selalu pilih resistor dengan rating daya minimal 2× daya aktual yang akan terdisipasi sebagai safety margin. Misalnya, jika kalkulasi menunjukkan $P = 0{,}25\text{ W}$, gunakan resistor ¼ W (0,25 W) sebagai minimum absolut, tapi lebih aman dengan ½ W (0,5 W).

3.3 Transfer Daya Maksimum ke Beban

Dalam banyak aplikasi — terutama sistem komunikasi dan audio — tujuan desain bukan memaksimalkan efisiensi, melainkan memaksimalkan daya yang diterima oleh beban ($R_L$). Teorema Transfer Daya Maksimum memberikan kondisi untuk mencapai hal ini.

Gambar 3.3 — Rangkaian Thevenin dengan beban $R_L$

Pernyataan Teorema

Untuk setiap rangkaian linear yang direpresentasikan oleh ekuivalen Thevenin-nya ($V_{th}$, $R_{th}$), daya maksimum dikirimkan ke beban resistif $R_L$ ketika $R_L = R_{th}$.

Penurunan (Derivasi)

Daya pada beban:

Daya pada Beban $$P_L = I^2 R_L = \left(\frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}\right)^{\!2} R_L$$

Untuk menemukan nilai $R_L$ yang memaksimalkan $P_L$, kita turunkan terhadap $R_L$ dan samakan dengan nol:

Derivasi — Kondisi Maksimum

$$\frac{dP_L}{dR_L} = V_{th}^2 \cdot \frac{(R_{th} + R_L)^2 - 2R_L(R_{th} + R_L)}{(R_{th} + R_L)^4} = 0$$

Pembilang harus nol (karena $V_{th} \neq 0$ dan penyebut $\neq 0$):

$$(R_{th} + R_L)^2 - 2R_L(R_{th} + R_L) = 0$$

$$(R_{th} + R_L)\left[(R_{th} + R_L) - 2R_L\right] = 0$$

$$(R_{th} + R_L)(R_{th} - R_L) = 0$$

Karena $R_{th} + R_L > 0$, maka:
$$\boxed{R_L = R_{th}}$$

Daya Maksimum dan Efisiensi

Substitusi $R_L = R_{th}$ ke rumus daya:

Daya Maksimum ke Beban $$P_{L,\max} = \left(\frac{V_{th}}{R_{th} + R_{th}}\right)^{\!2} R_{th} = \left(\frac{V_{th}}{2R_{th}}\right)^{\!2} R_{th} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}}$$

Efisiensi pada Transfer Daya Maks $$\eta = \frac{P_L}{P_{total}} = \frac{I^2 R_L}{I^2(R_{th} + R_L)} = \frac{R_L}{R_{th} + R_L} = \frac{R_{th}}{2R_{th}} = 50\%$$

Pada kondisi transfer daya maksimum, tepat setengah daya total terdisipasi oleh sumber internal ($R_{th}$) dan setengahnya oleh beban ($R_L$). Efisiensi selalu 50% — ini merupakan trade-off fundamental.

Kurva $P_L$ vs $R_L$

Gambar 3.4 — Daya beban $P_L$ sebagai fungsi dari $R_L$

Simulasi Interaktif: Transfer Daya Maksimum

Geser slider R_L dari 0–20 kΩ dan amati kurva daya beban secara real-time.

Kapan Menggunakan Teorema Ini?

Sistem komunikasi & audio: transfer daya maksimum diinginkan — impedansi output harus cocok dengan impedansi input (impedance matching). Contoh: speaker 8Ω dipasang ke amplifier output 8Ω.

Sistem tenaga listrik: efisiensi tinggi diinginkan, bukan transfer daya maks. $R_{th}$ dibuat sekecil mungkin agar $R_L \gg R_{th}$, mendekati efisiensi 100%.

Catatan Penting

Teorema ini berlaku untuk beban resistif murni. Untuk beban dengan reaktansi (kapasitif/induktif), kondisi diperluas menjadi $Z_L = Z_{th}^*$ (konjugat kompleks dari impedansi Thevenin), yang akan dibahas pada bab analisis AC.

3.4 Kode Warna Resistor

Resistor through-hole menggunakan 4 atau 5 gelang warna untuk menandai nilai hambatan dan toleransi. Sistem ini distandarisasi oleh IEC 60062.

Gambar 3.5 — Resistor 4 gelang: coklat-hitam-merah-emas = 1 kΩ ±5%

Tabel Kode Warna (4 Gelang)

Geser untuk melihat seluruh tabel

Warna	Angka	Multiplier	Toleransi
Hitam	0	$\times 1$	—
Coklat	1	$\times 10$	±1%
Merah	2	$\times 100$	±2%
Oranye	3	$\times 1\text{k}$	—
Kuning	4	$\times 10\text{k}$	—
Hijau	5	$\times 100\text{k}$	±0.5%
Biru	6	$\times 1\text{M}$	±0.25%
Ungu	7	$\times 10\text{M}$	±0.1%
Emas	—	$\times 0{,}1$	±5%
Perak	—	$\times 0{,}01$	±10%

3.5 Kapasitor

Kapasitor adalah komponen pasif yang menyimpan energi dalam bentuk medan listrik antara dua konduktor (plat) yang dipisahkan oleh bahan isolasi yang disebut dielektrik. Berbeda dengan resistor yang menolak perubahan arus, kapasitor menolak perubahan tegangan di antara kedua terminalnya.

Gambar 3.6 — Simbol kapasitor dengan arus dan tegangan

Kapasitansi

Kapasitansi menentukan seberapa banyak muatan listrik yang dapat disimpan untuk setiap satuan tegangan. Untuk kapasitor pelat sejajar:

Definisi Kapasitansi $$C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r \, A}{d}$$

di mana $\varepsilon_0 = 8{,}854 \times 10^{-12}$ F/m (permitivitas ruang hampa), $\varepsilon_r$ adalah konstanta dielektrik relatif bahan isolator, $A$ adalah luas pelat (m²), dan $d$ adalah jarak antar pelat (m).

Hubungan Arus-Tegangan

Arus Kapasitor $$i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$$

Implikasi penting: jika tegangan konstan (DC steady-state), maka $dv/dt = 0$ dan tidak ada arus yang mengalir. Kapasitor berperilaku sebagai open-circuit terhadap DC. Pada frekuensi tinggi, tegangan berubah sangat cepat sehingga kapasitor mengalirkan arus dengan mudah.

Integrasi rumus arus menghasilkan tegangan sebagai fungsi waktu:

Tegangan Kapasitor $$v(t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} i(\tau) \, d\tau = v(t_0) + \frac{1}{C} \int_{t_0}^{t} i(\tau) \, d\tau$$

Energi yang Disimpan

Energi Kapasitor $$W = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} QV$$

Tipe-tipe Kapasitor

Geser untuk melihat seluruh tabel

Tipe	Rentang Nilai	Keunggulan	Kegunaan Umum
Keramik (Ceramic)	1 pF – 10 µF	Murah, kecil, stabil	Dekoupling, filtering
Elektrolit	0,1 µF – 10.000 µF	Kapasitansi besar	Power supply filtering
Tantalum	0,1 µF – 100 µF	ESR rendah, kecil	Portable electronics
Film (Mylar/Polyester)	1 nF – 10 µF	Toleransi ketat, stabil	Audio, presisi
Variabel	5 pF – 500 pF	Nilai dapat diubah	Tuning RF

Perhatian — Kapasitor Elektrolit

Kapasitor elektrolit memiliki kutub (+ dan −). Pemasangan terbalik dapat menyebabkan kebocoran, penggelembungan, atau bahkan ledakan. Selalu periksa polaritas sebelum memasang! Kapasitor keramik dan film umumnya non-polar.

Rangkaian Kapasitor: Seri dan Paralel

Aturan penggabungan kapasitor merupakan kebalikan dari resistor. Ini terjadi karena kapasitor menyimpan muatan: paralel memperbesar luas pelat efektif (kapasitansi naik), seri memperbesar jarak dielektrik efektif (kapasitansi turun).

Kapasitor Paralel

Gambar 3.7a — Kapasitor paralel

Kapasitor Paralel $$C_{total} = C_1 + C_2 + C_3 + \cdots + C_n = \sum_{i=1}^{n} C_i$$

Kapasitor Seri

Gambar 3.7b — Kapasitor seri

Kapasitor Seri $$\frac{1}{C_{total}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \cdots + \frac{1}{C_n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{C_i}$$

Untuk dua kapasitor seri: $C_{total} = \dfrac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2}$

Ringkasan Aturan Penggabungan

Resistor & Induktor (keduanya "menolak" arus): seri → $R_{total} = R_1 + R_2$, paralel → $\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Kapasitor (menyimpan muatan, "menolak" perubahan tegangan): seri → $\frac{1}{C_{total}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$, paralel → $C_{total} = C_1 + C_2$ (kebalikan resistor)

3.6 Konstanta Waktu Rangkaian RC

Ketika kapasitor dihubungkan ke sumber DC melalui resistor, tegangan pada kapasitor tidak naik secara instan. Sebaliknya, ia mengikuti kurva eksponensial yang ditentukan oleh konstanta waktu $\tau$ (tau).

Konstanta Waktu

Konstanta Waktu RC $$\tau = R \cdot C$$

Pengisian Kapasitor (Charging)

Gambar 3.8 — Rangkaian RC pengisian

Tegangan Pengisian $$v_C(t) = V_s \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad \text{untuk } t \geq 0$$

Arus Pengisian $$i(t) = \frac{V_s}{R} \, e^{-t/\tau} \qquad \text{untuk } t \geq 0$$

Pengosongan Kapasitor (Discharging)

Tegangan Pengosongan $$v_C(t) = V_0 \, e^{-t/\tau} \qquad \text{untuk } t \geq 0$$

Arus Pengosongan $$i(t) = -\frac{V_0}{R} \, e^{-t/\tau} \qquad \text{(tanda negatif = arah berbalik)}$$

Tabel Referensi Waktu vs Tegangan

Geser untuk melihat seluruh tabel

Waktu	Pengisian $v_C/V_s$	Pengosongan $v_C/V_0$	Persentase
$0{,}5\tau$	$0{,}393$	$0{,}607$	39,3% / 60,7%
$1\tau$	$0{,}632$	$0{,}368$	63,2% / 36,8%
$2\tau$	$0{,}865$	$0{,}135$	86,5% / 13,5%
$3\tau$	$0{,}950$	$0{,}050$	95,0% / 5,0%
$5\tau$	$0{,}993$	$0{,}007$	99,3% / 0,7%

Aturan Praktis $5\tau$

Dalam praktik, kapasitor dianggap "terisi penuh" atau "terkosong penuh" setelah $5\tau$, karena pada titik ini proses telah mencapai 99,3% dari nilai akhir. Error yang tersisa (0,7%) umumnya dapat diabaikan dalam analisis rekayasa.

3.7 Induktor

Induktor adalah komponen pasif yang menyimpan energi dalam bentuk medan magnet. Secara fisik, induktor terdiri dari kumparan kawat (coil) yang melilit suatu inti (bisa udara, besi, atau ferrit). Ketika arus mengalir, terbentuk medan magnet di sekitarnya.

Gambar 3.9 — Simbol induktor dengan arus dan tegangan

Hubungan Arus-Tegangan

Tegangan Induktor $$v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$$

Rumus ini merupakan kebalikan dari kapasitor. Jika arus konstan (DC steady-state), maka $di/dt = 0$ dan tegangan pada induktor adalah nol — induktor berperilaku sebagai short-circuit terhadap DC, tepat berlawanan dengan kapasitor.

Arus Induktor $$i(t) = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t} v(\tau) \, d\tau = i(t_0) + \frac{1}{L} \int_{t_0}^{t} v(\tau) \, d\tau$$

Induktansi Solenoida

Induktansi Solenoida $$L = \frac{\mu_0 \, \mu_r \, N^2 \, A}{\ell}$$

di mana $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m, $\mu_r$ adalah permeabilitas relatif inti, $N$ jumlah lilitan, $A$ luas penampang (m²), dan $\ell$ panjang kumparan (m). Induktansi bertambah kuadratik dengan jumlah lilitan.

Energi yang Disimpan

Energi Induktor $$W = \frac{1}{2} L I^2$$

Parameter dan Tipe Induktor

Geser untuk melihat seluruh tabel

Tipe	Rentang Nilai	Keunggulan	Kegunaan Umum
Air core	10 nH – 100 µH	Tidak ada saturasi, linier	RF, filter, osilator
Ferrite core	1 µH – 10 mH	Induktansi tinggi per lilitan	EMI filter, switching regulator
Iron core	1 mH – 100 H	Induktansi sangat tinggi	Power supply, trafo
Toroidal	10 µH – 50 mH	Flux tertutup, EMI rendah	Audio, power supply
SMD (chip)	1 nH – 10 µH	Ukuran sangat kecil	PCB modern, RF

Perhatian — Arus Saturasi

Induktor memiliki batas arus saturasi ($I_{sat}$). Melebihi arus ini menyebabkan inti ferrite/besi jenuh sehingga induktansi turun drastis. Pada switching regulator, hal ini dapat merusak transistor. Selalu periksa datasheet!

Rangkaian Induktor: Seri dan Paralel

Aturan penggabungan induktor identik dengan resistor (bukan kebalikan seperti kapasitor), asalkan tidak ada kopling mutual ($M = 0$).

Induktor Seri & Paralel $$L_{seri} = L_1 + L_2 + \cdots \qquad\qquad \frac{1}{L_{paralel}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \cdots$$

3.8 Rangkaian RL

Rangkaian RL menunjukkan perilaku transient eksponensial, tetapi yang berubah secara gradual adalah arus (bukan tegangan seperti pada RC). Ini karena induktor menolak perubahan arus.

Konstanta Waktu RL $$\tau = \frac{L}{R}$$

Respons Pengisian (Switch Ditutup)

Arus RL (Pengisian) $$i(t) = \frac{V_s}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = I_{\infty}\left(1 - e^{-tR/L}\right)$$

Tegangan Induktor (Pengisian) $$v_L(t) = V_s \, e^{-t/\tau} \qquad \text{dari } V_s \text{ turun ke } 0$$

Pada $t = 0^+$, seluruh tegangan sumber muncul pada induktor ($v_L = V_s$) karena arus masih nol. Seiring waktu, arus naik, $v_R$ meningkat, dan $v_L$ menurun. Pada steady-state, induktor menjadi short-circuit dan seluruh tegangan jatuh pada resistor.

Respons Pengosongan

Arus RL (Pengosongan) $$i(t) = I_0 \, e^{-t/\tau} = I_0 \, e^{-tR/L}$$

Rangkaian RC

Yang berubah gradual: tegangan $v_C$
Konstanta waktu: $\tau = RC$
DC steady-state: kapasitor = open-circuit
Arus awal: maksimum ($V_s/R$)

Rangkaian RL

Yang berubah gradual: arus $i_L$
Konstanta waktu: $\tau = L/R$
DC steady-state: induktor = short-circuit
Tegangan awal induktor: maksimum ($V_s$)

Bahaya Putus Tiba-tiba pada Induktor

Jika arus mengalir dan sirkuit diputus tiba-tiba, arus tidak bisa berhenti seketika ($v = L\,di/dt \to \infty$). Tegangan sangat tinggi akan terinduksi. Inilah sebabnya diode flyback selalu dipasang paralel dengan induktor pada switching regulator dan relay.

3.9 Rangkaian RLC

Rangkaian RLC menggabungkan ketiga komponen pasif. Interaksi antara energi magnetik (induktor) dan energi listrik (kapasitor) menciptakan perilaku osilasi, sementara resistor bertindak sebagai peredam (damper).

Frekuensi Resonansi

Frekuensi Resonansi $$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

Pada resonansi, $X_L = X_C$, impedansi total rangkaian seri = $R$ saja (minimum), dan arus mencapai maksimum.

Faktor Kualitas dan Bandwidth

Faktor Kualitas & Bandwidth RLC Seri $$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \qquad\qquad BW = \frac{f_0}{Q} = \frac{R}{2\pi L}$$

Respons Transient: Tiga Kasus

Geser untuk melihat seluruh tabel

Kasus	Kondisi	Respons
Overdamped	$R > 2\sqrt{L/C}$	Tidak ada osilasi, turun perlahan
Critically damped	$R = 2\sqrt{L/C}$	Tercepat tanpa osilasi
Underdamped	$R < 2\sqrt{L/C}$	Berosilasi sambil meluruh

3.10 Respons Frekuensi Dasar

Pada frekuensi tinggi, impedansi kapasitor dan induktor berubah secara dramatis. Sifat ini dimanfaatkan untuk membuat filter.

Reaktansi Kapasitif & Induktif $$X_C = \frac{1}{\omega C} \qquad\qquad X_L = \omega L$$

Kapasitor: $X_C$ turun saat $f$ naik (short-circuit pada $f \to \infty$, open-circuit pada DC).
Induktor: $X_L$ naik saat $f$ naik (open-circuit pada $f \to \infty$, short-circuit pada DC).

Filter Low-Pass RC

Transfer Function & Cut-off $$H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC} \qquad\qquad f_c = \frac{1}{2\pi RC}$$

Output diambil pada kapasitor. Pada frekuensi rendah sinyal lolos utuh; pada frekuensi tinggi attenuasi dengan roll-off −20 dB/dekade.

Filter High-Pass RL

Transfer Function & Cut-off $$H(j\omega) = \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \qquad\qquad f_c = \frac{R}{2\pi L}$$

Output diambil pada induktor. Pada frekuensi tinggi sinyal lolos; pada frekuensi rendah attenuasi. Catatan: filter high-pass juga bisa dibuat dengan RC (output di resistor) dan low-pass dengan RL (output di resistor).

3.11 Contoh Soal

Contoh 3.1 — Daya Resistor

Sebuah resistor $470\ \Omega$ mengalirkan arus $20\text{ mA}$. Hitung: (a) tegangan pada resistor, (b) daya yang terdisipasi, (c) energi yang terdisipasi selama 1 jam, (d) apakah resistor ¼ W aman?

(a) Tegangan:
$$V = IR = (20 \times 10^{-3})(470) = 9{,}4\text{ V}$$

(b) Daya:
$$P = I^2 R = (20 \times 10^{-3})^2 (470) = 0{,}0004 \times 470 = 0{,}188\text{ W} = 188\text{ mW}$$

(c) Energi selama 1 jam:
$$W = P \cdot t = 0{,}188 \times 3600 = 676{,}8\text{ J}$$

(d) Keamanan: $P = 188\text{ mW} < 250\text{ mW}$ (¼ W). Meskipun secara teknis di bawah rating, margin hanya ~25%. Lebih aman menggunakan resistor ½ W.

Jawaban $V = 9{,}4\text{ V}$ | $P = 188\text{ mW}$ | $W = 676{,}8\text{ J}$ | ¼ W marginal, disarankan ½ W

Contoh 3.2 — Transfer Daya Maksimum

Sebuah rangkaian memiliki ekuivalen Thevenin $V_{th} = 24\text{ V}$ dan $R_{th} = 600\ \Omega$. Hitung: (a) nilai $R_L$ untuk transfer daya maksimum, (b) $P_{L,\max}$, (c) daya pada beban jika $R_L = 300\ \Omega$, (d) daya pada beban jika $R_L = 1{,}2\text{ k}\Omega$, (e) efisiensi pada kondisi (a).

(a) Kondisi transfer daya maks:
$$R_L = R_{th} = 600\ \Omega$$

(b) Daya maksimum:
$$P_{L,\max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}} = \frac{24^2}{4 \times 600} = \frac{576}{2400} = 0{,}24\text{ W} = 240\text{ mW}$$

(c) Jika $R_L = 300\ \Omega$ ($R_L < R_{th}$):
$$P_L = \left(\frac{24}{600 + 300}\right)^{\!2} \times 300 = \left(\frac{24}{900}\right)^{\!2} \times 300 = (0{,}02667)^2 \times 300 \approx 0{,}213\text{ W} = 213\text{ mW}$$

(d) Jika $R_L = 1{,}2\text{ k}\Omega$ ($R_L > R_{th}$):
$$P_L = \left(\frac{24}{600 + 1200}\right)^{\!2} \times 1200 = \left(\frac{24}{1800}\right)^{\!2} \times 1200 = (0{,}01333)^2 \times 1200 \approx 0{,}213\text{ W} = 213\text{ mW}$$

(e) Efisiensi:
$$\eta = \frac{R_L}{R_{th} + R_L} = \frac{600}{600 + 600} = 50\%$$

Jawaban $R_L = 600\ \Omega$ | $P_{\max} = 240\text{ mW}$ | $P_L(300\ \Omega) = 213\text{ mW}$ | $P_L(1{,}2\text{ k}\Omega) = 213\text{ mW}$ | $\eta = 50\%$
Perhatikan: daya sama untuk $R_L$ yang simetris terhadap $R_{th}$ (300 Ω dan 1,2 kΩ keduanya memberikan 213 mW < 240 mW).

Contoh 3.3 — Kode Warna Resistor

Tentukan nilai dan rentang aktual untuk resistor 4-gelang berikut: (a) Coklat – Hijau – Oranye – Emas, (b) Biru – Abu-abu – Merah – Perak, (c) Merah – Merah – Coklat – Emas, (d) tentukan gelang warna untuk resistor $4{,}7\text{ k}\Omega$ ±5%.

(a) Coklat(1) – Hijau(5) – Oranye(×1k) – Emas(±5%):
$$R = 15 \times 1{,}000 = 15{,}000\ \Omega = 15\text{ k}\Omega \pm 5\%$$ Rentang: $15\text{ k} \times 0{,}95 = 14{,}25\text{ k}\Omega$ sampai $15\text{ k} \times 1{,}05 = 15{,}75\text{ k}\Omega$

(b) Biru(6) – Abu-abu(8) – Merah(×100) – Perak(±10%):
$$R = 68 \times 100 = 6{,}800\ \Omega = 6{,}8\text{ k}\Omega \pm 10\%$$ Rentang: $6{,}12\text{ k}\Omega$ sampai $7{,}48\text{ k}\Omega$

(c) Merah(2) – Merah(2) – Coklat(×10) – Emas(±5%):
$$R = 22 \times 10 = 220\ \Omega \pm 5\%$$ Rentang: $209\ \Omega$ sampai $231\ \Omega$

(d) $4{,}7\text{ k}\Omega = 4700\ \Omega$: Angka = 47, multiplier = ×100 (merah).
Gelang: Kuning(4) – Ungu(7) – Merah(×100) – Emas(±5%)

Jawaban (a) $15\text{ k}\Omega \pm 5\%$ (14,25–15,75 kΩ) | (b) $6{,}8\text{ k}\Omega \pm 10\%$ (6,12–7,48 kΩ) | (c) $220\ \Omega \pm 5\%$ (209–231 Ω) | (d) Kuning–Ungu–Merah–Emas

Contoh 3.4 — Pengisian Kapasitor

Sebuah kapasitor $100\mu\text{F}$ diisi melalui resistor $10\text{ k}\Omega$ dari sumber $20\text{ V}$. Hitung: (a) konstanta waktu, (b) tegangan kapasitor setelah $0{,}5$ detik, (c) waktu terisi penuh, (d) arus pada $t = 0^+$, (e) energi tersimpan saat terisi penuh.

Rangkaian RC soal 3.4

(a) Konstanta waktu:
$$\tau = RC = (10 \times 10^3)(100 \times 10^{-6}) = 1\text{ s}$$

(b) Tegangan setelah $t = 0{,}5$ s ($t/\tau = 0{,}5$):
$$v_C(0{,}5) = 20\left(1 - e^{-0{,}5}\right) = 20(1 - 0{,}6065) \approx 7{,}87\text{ V}$$

(c) Waktu terisi penuh ($5\tau$):
$$t_{penuh} = 5 \times 1 = 5\text{ s}$$

(d) Arus pada $t = 0^+$: kapasitor masih kosong ($v_C = 0$), seluruh tegangan pada R:
$$i(0^+) = \frac{V_s}{R} = \frac{20}{10\,000} = 2\text{ mA}$$

(e) Energi saat terisi penuh ($V_C = 20\text{ V}$):
$$W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}(100 \times 10^{-6})(20)^2 = \frac{1}{2}(100 \times 10^{-6})(400) = 0{,}02\text{ J} = 20\text{ mJ}$$

Jawaban $\tau = 1\text{ s}$ | $v_C(0{,}5\text{ s}) \approx 7{,}87\text{ V}$ | $t_{penuh} = 5\text{ s}$ | $i(0^+) = 2\text{ mA}$ | $W = 20\text{ mJ}$

Contoh 3.5 — Pengosongan Kapasitor

Kapasitor $47\mu\text{F}$ telah terisi hingga $15\text{ V}$, kemudian diosongkan melalui resistor $220\text{ k}\Omega$. Hitung: (a) $\tau$, (b) tegangan setelah $3$ detik, (c) arus awal pengosongan, (d) waktu yang dibutuhkan agar $v_C$ turun ke $1\text{ V}$.

(a) Konstanta waktu:
$$\tau = RC = (220 \times 10^3)(47 \times 10^{-6}) = 10{,}34\text{ s}$$

(b) Tegangan setelah $t = 3$ s:
$$v_C(3) = 15 \, e^{-3/10{,}34} = 15 \, e^{-0{,}2901} = 15 \times 0{,}7483 \approx 11{,}22\text{ V}$$

(c) Arus awal pengosongan ($t = 0^+$):
$$i(0^+) = -\frac{V_0}{R} = -\frac{15}{220\,000} \approx -68{,}2\ \mu\text{A}$$ Tanda negatif menunjukkan arus mengalir berlawanan arah pengisian.

(d) Waktu untuk $v_C = 1\text{ V}$:
$$1 = 15 \, e^{-t/10{,}34}$$ $$e^{-t/10{,}34} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667$$ $$-\frac{t}{10{,}34} = \ln(0{,}0667) \approx -2{,}708$$ $$t = 2{,}708 \times 10{,}34 \approx 28\text{ s}$$

Jawaban $\tau = 10{,}34\text{ s}$ | $v_C(3\text{ s}) \approx 11{,}22\text{ V}$ | $i(0^+) \approx -68{,}2\ \mu\text{A}$ | $t(v_C = 1\text{ V}) \approx 28\text{ s}$

Contoh 3.6 — Rangkaian RL

Rangkaian RL seri: $R = 50\ \Omega$, $L = 200\text{ mH}$, sumber $10\text{ V}$ DC. Hitung: (a) $\tau$, (b) arus steady-state, (c) arus setelah $4\text{ ms}$, (d) $v_L$ pada $t = 0^+$, (e) energi tersimpan di induktor pada steady-state.

(a) Konstanta waktu:
$$\tau = \frac{L}{R} = \frac{200 \times 10^{-3}}{50} = 4\text{ ms}$$

(b) Arus steady-state:
$$I_{\infty} = \frac{V_s}{R} = \frac{10}{50} = 0{,}2\text{ A} = 200\text{ mA}$$

(c) Arus setelah $4\text{ ms}$ ($t/\tau = 1$):
$$i(4\text{ ms}) = 0{,}2(1 - e^{-1}) = 0{,}2 \times 0{,}6321 \approx 126{,}4\text{ mA}$$

(d) $v_L$ pada $t = 0^+$: arus masih nol, $v_R = 0$, seluruh tegangan di induktor:
$$v_L(0^+) = V_s = 10\text{ V}$$

(e) Energi tersimpan pada steady-state:
$$W = \frac{1}{2}LI_{\infty}^2 = \frac{1}{2}(0{,}2)(0{,}2)^2 = \frac{1}{2}(0{,}2)(0{,}04) = 0{,}004\text{ J} = 4\text{ mJ}$$

Jawaban $\tau = 4\text{ ms}$ | $I_{\infty} = 200\text{ mA}$ | $i(4\text{ ms}) \approx 126{,}4\text{ mA}$ | $v_L(0^+) = 10\text{ V}$ | $W = 4\text{ mJ}$

Contoh 3.7 — Kapasitor Seri dan Paralel

Tiga kapasitor: $C_1 = 10\ \mu\text{F}$, $C_2 = 22\ \mu\text{F}$, $C_3 = 47\ \mu\text{F}$. Hitung: (a) $C_{total}$ jika ketiganya paralel, (b) $C_{total}$ jika $C_1$ dan $C_2$ paralel, lalu hasilnya diseri dengan $C_3$, (c) $C_{total}$ jika ketiganya seri.

(a) Ketiga paralel:
$$C_{total} = C_1 + C_2 + C_3 = 10 + 22 + 47 = 79\ \mu\text{F}$$

(b) $C_1 \parallel C_2$ lalu seri $C_3$:
$$C_{12} = C_1 + C_2 = 10 + 22 = 32\ \mu\text{F}$$ $$C_{total} = \frac{C_{12} \cdot C_3}{C_{12} + C_3} = \frac{32 \times 47}{32 + 47} = \frac{1504}{79} \approx 19{,}04\ \mu\text{F}$$

(c) Ketiga seri:
$$\frac{1}{C_{total}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{22} + \frac{1}{47} = 0{,}1 + 0{,}04545 + 0{,}02128 = 0{,}16673\ \mu\text{F}^{-1}$$ $$C_{total} = \frac{1}{0{,}16673} \approx 5{,}998\ \mu\text{F} \approx 6\ \mu\text{F}$$

Jawaban (a) $79\ \mu\text{F}$ | (b) $\approx 19{,}04\ \mu\text{F}$ | (c) $\approx 6\ \mu\text{F}$

Contoh 3.8 — Rangkaian RLC

RLC seri: $R = 100\ \Omega$, $L = 10\text{ mH}$, $C = 100\text{ nF}$. Hitung: (a) $f_0$, (b) $Q$, (c) bandwidth, (d) apakah underdamped atau overdamped, (e) frekuensi batas bawah dan atas ($f_1$ dan $f_2$).

(a) Frekuensi resonansi:
$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10 \times 10^{-3})(100 \times 10^{-9})}} = \frac{1}{2\pi \times 3{,}162 \times 10^{-5}} \approx 5{,}03\text{ kHz}$$

(b) Faktor kualitas:
$$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{100}\sqrt{\frac{10 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-9}}} = \frac{316{,}23}{100} \approx 3{,}16$$

(c) Bandwidth:
$$BW = \frac{f_0}{Q} = \frac{5033}{3{,}16} \approx 1{,}59\text{ kHz}$$

(d) Tipe damping: $2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{10^{-3}/10^{-7}} = 2 \times 100 = 200\ \Omega$. Karena $R = 100\ \Omega < 200\ \Omega$, rangkaian ini underdamped.

(e) Frekuensi batas:
$$f_1 = f_0 - \frac{BW}{2} = 5033 - 795 \approx 4{,}24\text{ kHz}$$ $$f_2 = f_0 + \frac{BW}{2} = 5033 + 795 \approx 5{,}83\text{ kHz}$$

Jawaban $f_0 \approx 5{,}03\text{ kHz}$ | $Q \approx 3{,}16$ | $BW \approx 1{,}59\text{ kHz}$ | Underdamped | $f_1 \approx 4{,}24\text{ kHz}$, $f_2 \approx 5{,}83\text{ kHz}$

3.12 Pertanyaan Latihan

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut untuk menguji pemahaman Anda terhadap materi bab ini.

Soal 1

Sebuah sumber tegangan $12\text{ V}$ memiliki resistansi internal $R_{th} = 150\ \Omega$. Tentukan nilai $R_L$ untuk transfer daya maksimum, hitung $P_{L,\max}$, lalu hitung daya pada beban jika $R_L = 50\ \Omega$ dan jika $R_L = 450\ \Omega$. Bandingkan ketiga nilai daya tersebut.

Soal 2

Sebuah kapasitor $47\mu\text{F}$ terisi hingga $25\text{ V}$. Berapa energi yang tersimpan? Jika diosongkan melalui resistor $100\text{ k}\Omega$, berapa arus awal pengosongan dan berapa waktu untuk mencapai tegangan $1\text{ V}$?

Soal 3

Sebuah induktor $100\text{ mH}$ mengalami perubahan arus linier dari $0$ ke $2\text{ A}$ dalam $5\text{ ms}$. Hitung tegangan yang diinduksi. Berapa energi yang tersimpan saat arus $2\text{ A}$?

Soal 4

Rangkaian RL: $R = 200\ \Omega$, $L = 50\text{ mH}$, sumber $12\text{ V}$. Hitung $\tau$, arus setelah $0{,}5\text{ ms}$, dan $v_L$ pada saat itu.

Soal 5

Rangkaian RLC seri: $R = 50\ \Omega$, $L = 25\text{ mH}$, $C = 1\mu\text{F}$. Tentukan $f_0$, $Q$, bandwidth, dan jelaskan apakah rangkaian ini underdamped, critically damped, atau overdamped.

Soal 6

Dua kapasitor $C_1 = 4{,}7\mu\text{F}$ dan $C_2 = 10\mu\text{F}$ dihubungkan seri lalu paralel dengan $C_3 = 22\mu\text{F}$. Hitung $C_{total}$.

Soal 7

Jelaskan secara kualitatif mengapa kapasitor bertindak sebagai open-circuit terhadap DC tetapi mengalirkan arus pada frekuensi tinggi, sedangkan induktor menunjukkan perilaku sebaliknya. Gunakan $X_C = \frac{1}{\omega C}$ dan $X_L = \omega L$ dalam penjelasan Anda.